Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule:
partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r
z=arcsen(3 x+y), x=s^2, y=sen(s t)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
z=arcsen(3x+y), x=s^2, y=sen(st)
e queremos
partial zpartial t e partial zpartial s.
Além disso, pede-se partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r para
w=f(x,y,z),
porém não foi dada a expressão de w.

Passo 2

Vamos primeiro calcular partial zpartial s e partial zpartial t. Defina
u=3x+y,
então
z=arcsen(u) Longrightarrow partial zpartial u=1raiz1-u^2
Como x=s^2 e y=sen(st), temos
partial xpartial s=2s, partial ypartial s=tcos(st), partial ypartial t=scos(st), partial xpartial t=0
Pela regra da cadeia,
partial zpartial s =partial zpartial u,l(3,partial xpartial s+partial ypartial sr) =3cdot 2s + tcos(st)raiz1-l(3s^2+sen(st)r)^2,
partial zpartial t =partial zpartial u,l(3,partial xpartial t+partial ypartial tr) =scos(st)raiz1-l(3s^2+sen(st)r)^2

Passo 3

Para calcular partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r seria necessário saber a expressão de w=f(x,y,z). Como ela não foi fornecida, não é possível aplicar a regra da cadeia para obter essas derivadas.

Resposta

partial zpartial s =6s + tcos(st)raiz1-l(3s^2+sen(st)r)^2, partial zpartial t =scos(st)raiz1-l(3s^2+sen(st)r)^2
Não é possível calcular partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r porque a função w=f(x,y,z) não foi especificada.

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