Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule:
partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r
w=x e^y, x=arctg(r s t), y=ln (3 r s+5 s t)

Passo 1

No enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas funções:
  • z = f(x,y), mas não foi dada nenhuma expressão para f, ou seja, não sabemos qual é z em função de x e y.
  • w = x e^y, com x = arctan(r s t), y = lnl(3 r s + 5 s tr)
Portanto, não há dados para calcular partial z/partial t nem partial z/partial s. Já para w, temos toda a informação.

Passo 2

Concluímos que é impossível determinar partial zpartial t e partial zpartial s por falta da expressão z=f(x,y).

Passo 3

Agora focamos em
w(x,y)=x,e^y, x=arctan(r s t), y=lnl(3 r s+5 s tr)
Pela regra da cadeia,
partial wpartial u = partial wpartial x,partial xpartial u + partial wpartial y,partial ypartial u,
onde uint,s,r.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de w em relação a x e y:
partial wpartial x = e^y, partial wpartial y = x,e^y

Passo 5

Agora as derivadas de x e y:
partial xpartial t =partialpartial tarctan(r s t) =r s1+(r s t)^2, partial xpartial s =r t1+(r s t)^2, partial xpartial r =s t1+(r s t)^2
partial ypartial t =partialpartial tln(3 r s+5 s t) =5 s3 r s+5 s t, partial ypartial s =3 r+5 t3 r s+5 s t, partial ypartial r =3 s3 r s+5 s t

Passo 6

Aplicando tudo para cada variável:
u=t:
partial wpartial t = e^y,r s1+(r s t)^2 + x,e^y,5 s3 r s+5 s t
u=s:
partial wpartial s = e^y,r t1+(r s t)^2 + x,e^y,3 r+5 t3 r s+5 s t
u=r:
partial wpartial r = e^y,s t1+(r s t)^2 + x,e^y,3 s3 r s+5 s t

Resposta

Não é possível obter partial zpartial t nem partial zpartial s pois a função z=f(x,y) não foi especificada.
Para w=x e^y com x=arctan(rst) e y=ln(3rs+5st), temos
partial wpartial t = e^y,r s1+(r s t)^2 + x,e^y,5 s3 r s+5 s t,
partial wpartial s = e^y,r t1+(r s t)^2 + x,e^y,3 r+5 t3 r s+5 s t,
partial wpartial r = e^y,s t1+(r s t)^2 + x,e^y,3 s3 r s+5 s t

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