Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções compostas:
F(x)=\sqrt[3]{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\sqrt[3]{x^{3}+1}=(x^{3}+1)^{\tfrac{1}{3}},
e para isso vamos usar a regra da cadeia. Identificamos:
– função externa g(u)=u^{\tfrac{1}{3}},
– função interna u(x)=x^{3}+1.

Passo 2

Calculamos as derivadas das partes:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}+1)=3x^{2},
g'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{\tfrac{1}{3}}\bigr)=\tfrac{1}{3}\;u^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
F'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) =\Bigl(\tfrac{1}{3}(x^{3}+1)^{-\tfrac{2}{3}}\Bigr)\times(3x^{2}) =x^{2}\,(x^{3}+1)^{-\tfrac{2}{3}}.

Resposta

F'(x)=\frac{x^{2}}{\bigl(x^{3}+1\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

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