Usando a regra da cadeia determine a derivada das seguintes funções
y=e^x-e^-xe^x+e^-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^x - e^-xe^x + e^-x
usando a regra da cadeia (pois temos funções compostas em e^-x) e também a regra do quociente, já que y é uma razão de duas funções.

Passo 2

Definimos
u(x) = e^x - e^-x, v(x) = e^x + e^-x
A regra do quociente diz que
y' = u'v - uv'v^2
Para obter u' e v' vamos usar a regra da cadeia em e^-x.

Passo 3

Derivando cada parte:
u'(x) = ddxl(e^xr) - ddxl(e^-xr) = e^x - l(-1cdot e^-xr) = e^x + e^-x,
v'(x) = ddxl(e^xr) + ddxl(e^-xr) = e^x + l(-1cdot e^-xr) = e^x - e^-x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y' = l(e^x+e^-xr)l(e^x+e^-xr) ;-;l(e^x-e^-xr)l(e^x-e^-xr)l(e^x+e^-xr)^2
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab,
com a=e^x, b=e^-x, logo 4ab = 4,e^xe^-x = 4.

Passo 5

Substituindo no quociente,
Como , temos e portanto

Resposta

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