Usando a regra da cadeia determine partial zpartial s e partial zpartial t. z=ln (3 x+2 y) com x=s sen(t) e y=t cos (s)

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem uma função que depende de e , e essas duas por sua vez dependem de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas assim.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, para encontrar e , vamos precisar derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = 33x + 2y em relação a partial zpartial y = 23x + 2y e :
Essas derivadas vêm da regra da derivada do logaritmo: , multiplicado pelo coeficiente da variável dentro do logaritmo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial xpartial s = sen(t) (já que ( x = s cdot sen(t) )) e partial ypartial s = -t cdot sen(s) (derivando ( y = t cdot cos(s) )) com relação a partial xpartial t = s cdot cos(t) (derivando ( x = s cdot sen(t) )) e partial ypartial t = cos(s) (derivando ( y = t cdot cos(s) )) :
Para e :
Para e :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = 33x + 2y cdot sen(t) + 23x + 2y cdot (-t cdot sen(s)) :
Para partial zpartial s = 3 sen(t) - 2t sen(s)3x + 2y :
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo os valores que encontramos:
Para partial zpartial t = 33x + 2y cdot s cos(t) + 23x + 2y cdot cos(s) :
partial zpartial t = 3s cos(t) + 2 cos(s)3x + 2y
Substituindo os valores:

Resposta

As derivadas parciais são:
e
partial zpartial s = 3 sen(t) - 2t sen(s)3x + 2y

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