Usando a regra da cadeia, determine y^{\prime}, sendo:
y=\left(\frac{3 x-2}{2 x+1}\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \Bigl(\frac{3x-2}{2x+1}\Bigr)^{8}
usando a regra da cadeia. Vamos identificar a função externa
f(u)=u^{8}
e a interna
u(x)=\frac{3x-2}{2x+1},
calcular u'(x) e então aplicar y'=f'(u)\,u'(x).

Passo 2

Para u(x)=\frac{3x-2}{2x+1}, usamos a regra do quociente:
u'(x) = \frac{(3)\,(2x+1)\;-\;(3x-2)\,(2)}{(2x+1)^{2}} = \frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^{2}} = \frac{7}{(2x+1)^{2}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, y' = f'(u(x))\cdot u'(x). Como
f'(u)=8\,u^{7},
temos
y' = 8\Bigl(\frac{3x-2}{2x+1}\Bigr)^{7}\,\cdot\,\frac{7}{(2x+1)^{2}} = \frac{56\,(3x-2)^{7}}{(2x+1)^{9}}.

Resposta

y' = \frac{56\,(3x-2)^{7}}{(2x+1)^{9}}.

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