Usando a regra da cadeia, determine y^{\prime}, sendo:
y=\left(4 x^{3}+3 x-1\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(4x^3 + 3x - 1\bigr)^7
Esse é um caso de composição de funções, ou seja, y = v(u(x)) com v(u)=u^7 e u(x)=4x^3+3x-1. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, que diz
y'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa:
— Função externa: v(u)=u^7
— Função interna: u(x)=4x^3+3x-1

Passo 3

Derivamos cada uma separadamente:
v'(u)=7u^6
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^3+3x-1\bigr)=12x^2+3

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
y'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =7\bigl(4x^3+3x-1\bigr)^6\cdot(12x^2+3).

Passo 5

Se quisermos, podemos fatorar 3 em 12x^2+3:
12x^2+3=3(4x^2+1)
Logo
y'(x)=7\bigl(4x^3+3x-1\bigr)^6\cdot3(4x^2+1) =21(4x^2+1)\bigl(4x^3+3x-1\bigr)^6.

Resposta

y'(x)=7\bigl(4x^3+3x-1\bigr)^6(12x^2+3)
ou, de forma equivalente,
y'(x)=21(4x^2+1)\bigl(4x^3+3x-1\bigr)^6.

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