Verifique as seguintes igualdades:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccccc}a & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ a & a+1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\\ a & a+1 & a+2 & 3 & 3 & 3 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & 4 & 4 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & a+4 & 5 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & a+4 & a+5\end{array}\right]=a^{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ a & a+1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\\ a & a+1 & a+2 & 3 & 3 & 3 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & 4 & 4 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & a+4 & 5 \\\ a & a+1 & a+2 & a+3 & a+4 & a+5 \end{pmatrix},
e mostrar que \det M = a^6. O conteúdo aqui é determinante de matriz e operação elementar de linha (subtração de linha anterior), que não altera o valor do determinante.

Passo 2

Para triangularizar M sem alterar \det M, aplicamos para i=6,5,4,3,2 a operação
R_i \;\longleftarrow\; R_i - R_{i-1}.
Isso coloca zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Após essas operações, a matriz fica
M' = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & a & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & a & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & a & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \end{pmatrix}.
Repare que em cada passo o elemento na nova diagonal é sempre a.

Passo 4

Como M' é triangular e as operações de linha usadas não alteram o determinante, temos
\det M = \det M' = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^6.

Resposta

\displaystyle a^{6}

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