Usando a Regra de L Hospital, calcule:
lim x 1 x^100-x^2+x-1x^10-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 1 x^100-x^2+x-1x^10-1. O conteúdo é limite de função e vamos usar a regra de L’Hospital, que exige verificar forma indeterminada e depois derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, substituímos diretamente x=1 para ver o tipo de indeterminação:
Numerador: 1^100-1^2+1-1 = 1-1+1-1 = 0
Denominador: 1^10-1 = 1-1 = 0
Como obtemos 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
ddxl(x^100-x^2+x-1r)=100x^99-2x+1
Derivada do denominador:
ddxl(x^10-1r)=10x^9
Portanto o limite passa a ser limxto1100x^99-2x+110x^9.

Passo 4

Basta agora avaliar em x=1:
Numerador em 1: 100cdot1^99-2cdot1+1=100-2+1=99
Denominador em 1: 10cdot1^9=10
Logo o limite vale 9910.

Resposta

tfrac9910

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