Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x +infty x^2+48^x

Passo 1

Vamos resolver o limite limx +infty x^2 + 48^x usando a Regra de L’Hôpital. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada, como inftyinfty ou 00.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x tende ao infinito:
  • Numerador ( x^2 + 4): Conforme x cresce, x^2 também cresce sem limites, então o numerador tende a infty.
  • Denominador ( 8^x): Uma função exponencial com base maior que 1, como 8^x, também cresce muito rapidamente, tendendo a infty.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a infty, temos uma forma indeterminada inftyinfty, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se limx c f(x)g(x) resulta em uma forma indeterminada 00 ou inftyinfty, então o limite pode ser calculado como limx c f'(x)g'(x), desde que esse limite exista.
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador ( f(x) = x^2 + 4):
f'(x) = 2x
  • Derivada do denominador ( g(x) = 8^x):
g'(x) = 8^x cdot ln(8)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
limx +infty x^2 + 48^x = limx +infty 2x8^x cdot ln(8)
Vamos simplificar:
limx +infty 2x8^x cdot ln(8)

Passo 5

Analisando novamente, vemos que o numerador 2x tende a infty e o denominador 8^x cdot ln(8) também tende a infty. Portanto, ainda temos uma forma indeterminada inftyinfty e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Calculamos novamente as derivadas do novo numerador e denominador:
  • Derivada do numerador ( f(x) = 2x):
f'(x) = 2
  • Derivada do denominador ( g(x) = 8^x cdot ln(8)):
g'(x) = 8^x cdot (ln(8))^2

Passo 7

Aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
limx +infty 2x8^x cdot ln(8) = limx +infty 28^x cdot (ln(8))^2

Passo 8

Agora, vamos analisar este novo limite:
  • Numerador: 2, que é uma constante.
  • Denominador: 8^x cdot (ln(8))^2 tende a infty conforme x cresce.
Assim, o limite de uma constante dividida por algo que tende a infty é 0.

Resposta

limx +infty x^2 + 48^x = 0

Exercícios relacionados