Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada, como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
tende ao infinito:
- Numerador (
): Conforme cresce, também cresce sem limites, então o numerador tende a . - Denominador (
): Uma função exponencial com base maior que 1, como , também cresce muito rapidamente, tendendo a .
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, temos uma forma indeterminada
, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então o limite pode ser calculado como
, desde que esse limite exista.
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada do numerador (
):
- Derivada do denominador (
):
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
Vamos simplificar:
Passo 5
Analisando novamente, vemos que o numerador
tende a
e o denominador
também tende a
. Portanto, ainda temos uma forma indeterminada
e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Calculamos novamente as derivadas do novo numerador e denominador:
- Derivada do numerador (
):
- Derivada do denominador (
):
Passo 7
Aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
Passo 8
Agora, vamos analisar este novo limite:
- Numerador: 2, que é uma constante.
- Denominador:
tende a conforme cresce.
Assim, o limite de uma constante dividida por algo que tende a
é 0.