Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
vai para mais infinito da função
. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver limites que dão indeterminação, como
. Vamos precisar conhecer derivadas básicas para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Quando
tende a mais infinito:
-
cresce muito rápido e tende a . -
também cresce, mas muito mais lentamente, e tende a .
Então, temos uma indeterminação do tipo
, que é exatamente onde a Regra de L’Hôpital entra em ação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessa nova fração.
A derivada do numerador
é:
A derivada do denominador
é:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fração, temos:
Agora, vamos analisar esse novo limite. Tanto
quanto
tendem a
quando
cresce, então o produto deles também tende a
.
Resposta
O limite é
.