Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x +infty e^3 xln x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando x vai para mais infinito da função e^3xln x . Para isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver limites que dão indeterminação, como inftyinfty . Vamos precisar conhecer derivadas básicas para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Quando x tende a mais infinito:
  • e^3x cresce muito rápido e tende a +infty .
  • ln x também cresce, mas muito mais lentamente, e tende a +infty .
Então, temos uma indeterminação do tipo inftyinfty , que é exatamente onde a Regra de L’Hôpital entra em ação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessa nova fração.
A derivada do numerador e^3x é:
ddx e^3x = 3e^3x
A derivada do denominador ln x é:
ddx ln x = 1x

Passo 4

Substituindo as derivadas na fração, temos:
limx to +infty 3e^3x1x = limx to +infty 3x e^3x
Agora, vamos analisar esse novo limite. Tanto x quanto e^3x tendem a +infty quando x cresce, então o produto deles também tende a +infty .

Resposta

O limite é +infty .

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