Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x +infty x tg 7x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+infty x,tan!l(tfrac7xr)
usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo envolvido é limite de tipo infinito vezes zero e a técnica de transformar em forma 0/0 para aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que, quando xto+infty, temos tfrac7xto0 e, portanto,
tan!l(tfrac7xr)totan(0)=0. Assim a expressão xcdottan(7/x) é do tipo inftycdot0. Para usar L’Hôpital, reescrevemos como fração:
x,tan!l(tfrac7xr) =tan!l(tfrac7xr)tfrac1x

Passo 3

Verificamos o tipo de indeterminação: à medida que xto+infty, o numerador tan(7/x)to0 e o denominador 1/xto0. Logo é uma forma 0/0, que permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddxl[tan!l(tfrac7xr)r] =sec^2!l(tfrac7xr)cdotddx!l(tfrac7xr) =sec^2!l(tfrac7xr)cdotl(-tfrac7x^2r)
– Denominador:
ddxl[tfrac1xr] =-tfrac1x^2
Pela regra, o limite vira
limxto+inftytan(7/x)1/x =limxto+infty-tfrac7x^2,sec^2(7/x)-tfrac1x^2 =limxto+infty7,sec^2!l(tfrac7xr)

Passo 5

Como tfrac7xto0 quando xto+infty, temos sec^2(7/x)tosec^2(0)=1. Logo
limxto+infty7,sec^2!l(tfrac7xr)=7cdot1=7

Resposta

7

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