Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x pi cos ^3 x2sen x

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de $ \pi $ da expressão x . Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que inicialmente resultam em formas indeterminadas como pi ou cos^3 x2sin x.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada que permite o uso da Regra de L’Hôpital. Vamos substituir $ x = \pi $ na expressão:
  • x = pi cospi2 = 0
  • Rightarrow cos^3pi2 = 0
Então, temos sin pi = 0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f(x)g(x) resulta em uma forma indeterminada 00 ou inftyinfty, então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Desde que o limite à direita exista.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o Numerador:
$ f(x) = \cos^{3}\frac{x}{2} $
Usando a regra da cadeia:
f(x) = cos^3x2
Derivando o Denominador:
$ g(x) = \sin x $
A derivada de f'(x) = 3cos^2x2 cdot (-sinx2) cdot 12 = -32 cos^2x2 sinx2 é g(x) = sin x .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx to pi cos^3x2sin x = limx to pi -32 cos^2x2 sinx2cos x

Passo 6

Vamos substituir $ x = \pi $ na expressão derivada:
  • x = pi cospi2 = 0
  • Rightarrow cos^2pi2 = 0
  • sinpi2 = 1
Substituindo:
cos pi = -1

Resposta

O limite é $ 0 $.

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