Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de $ \pi $ da expressão
. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que inicialmente resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada que permite o uso da Regra de L’Hôpital. Vamos substituir $ x = \pi $ na expressão:
Então, temos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então:
Desde que o limite à direita exista.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando o Numerador:
$ f(x) = \cos^{3}\frac{x}{2} $
Usando a regra da cadeia:
Derivando o Denominador:
$ g(x) = \sin x $
A derivada de
é
.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Passo 6
Vamos substituir $ x = \pi $ na expressão derivada:
Substituindo:
Resposta
O limite é $ 0 $.