Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x 0 3^x-10^xsen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de 3^x - 10^xsin x quando x se aproxima de 0. Aqui, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty. Para isso, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se o limite inicialmente resulta em uma forma indeterminada. Substituindo x = 0:
  • Numerador: 3^0 - 10^0 = 1 - 1 = 0
  • Denominador: sin(0) = 0
Então, temos uma forma 00, que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador 3^x - 10^x:
    • A derivada de a^x é a^x ln(a).
    • Então, a derivada é 3^x ln(3) - 10^x ln(10).
  • Derivada do denominador sin x:
    • A derivada de sin x é cos x.

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
lim x 0 3^x ln(3) - 10^x ln(10)cos x

Passo 5

Vamos calcular esse novo limite substituindo x = 0:
  • 3^0 ln(3) = 1 cdot ln(3) = ln(3)
  • 10^0 ln(10) = 1 cdot ln(10) = ln(10)
  • cos(0) = 1
Então, o limite fica:
ln(3) - ln(10)1 = ln(3) - ln(10)

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos escrever:
ln(310)

Resposta

O limite é ln(310).

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