Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Aqui, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Para isso, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se o limite inicialmente resulta em uma forma indeterminada. Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
: - A derivada de
é . - Então, a derivada é
.
- A derivada de
- Derivada do denominador
: - A derivada de
é .
- A derivada de
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Passo 5
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Então, o limite fica:
Passo 6
Simplificando a expressão, podemos escrever:
Resposta
O limite é
.