Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
E aí! Vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Esse exercício envolve cálculo de limites e derivadas, já que a Regra de L’Hôpital é útil quando temos uma forma indeterminada como
. Vamos precisar calcular as derivadas do numerador e do denominador até conseguirmos resolver o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se substituindo
na expressão original realmente obtemos uma forma indeterminada
:
- No numerador:
- No denominador:
Então, temos
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Então, o limite fica assim:
Passo 5
Vamos verificar novamente se ainda temos uma forma indeterminada substituindo
:
- No numerador:
- No denominador:
Ainda é
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.
Passo 6
Calculamos as derivadas novamente:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Agora, o limite é:
Passo 7
Vamos ver se ainda temos
:
- No numerador:
- No denominador:
Ainda é
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 8
Derivamos mais uma vez:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Agora, o limite fica:
Resposta
Substituindo
na expressão final:
Então, o limite é
.