Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x 0 4 x-sen 4 xx^3

Passo 1

E aí! Vamos resolver o limite lim x 0 4x - sin 4xx^3 usando a Regra de L’Hôpital. Esse exercício envolve cálculo de limites e derivadas, já que a Regra de L’Hôpital é útil quando temos uma forma indeterminada como 00. Vamos precisar calcular as derivadas do numerador e do denominador até conseguirmos resolver o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se substituindo x = 0 na expressão original realmente obtemos uma forma indeterminada 00:
  • No numerador: 4(0) - sin(4 cdot 0) = 0 - 0 = 0
  • No denominador: 0^3 = 0
Então, temos 00, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
lim x 0 4x - sin 4xx^3 = lim x 0 f'(x)g'(x)
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Derivando o numerador f(x) = 4x - sin 4x:
f'(x) = 4 - cos 4x cdot 4 = 4 - 4cos 4x = 4(1 - cos 4x)
Derivando o denominador g(x) = x^3:
g'(x) = 3x^2
Então, o limite fica assim:
lim x 0 4(1 - cos 4x)3x^2

Passo 5

Vamos verificar novamente se ainda temos uma forma indeterminada substituindo x = 0:
  • No numerador: 1 - cos(4 cdot 0) = 1 - 1 = 0
  • No denominador: 3(0)^2 = 0
Ainda é 00, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.

Passo 6

Calculamos as derivadas novamente:
Derivando o numerador f'(x) = 4(1 - cos 4x):
f''(x) = 4 cdot 0 - 4 cdot (-sin 4x cdot 4) = 16sin 4x
Derivando o denominador g'(x) = 3x^2:
g''(x) = 6x
Agora, o limite é:
lim x 0 16 sin 4x6x

Passo 7

Vamos ver se ainda temos 00:
  • No numerador: 16 sin(4 cdot 0) = 16 cdot 0 = 0
  • No denominador: 6 cdot 0 = 0
Ainda é 00, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Derivamos mais uma vez:
Derivando o numerador f''(x) = 16 sin 4x:
f'''(x) = 16 cos 4x cdot 4 = 64 cos 4x
Derivando o denominador g''(x) = 6x:
g'''(x) = 6
Agora, o limite fica:
lim x 0 64 cos 4x6

Resposta

Substituindo x = 0 na expressão final:
64 cos 06 = 64 cdot 16 = 646 = 323
Então, o limite é 323.

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