Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x^4+x^2+1x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^4+x^2+1x-1,dx
Aqui estamos diante de uma função racional cujo numerador tem grau maior que o denominador. A estratégia é usar divisão de polinômios para escrever a fração como um polinômio mais um quociente próprio, e depois integrar termo a termo usando as fórmulas básicas.

Passo 2

Vamos dividir x^4+0x^3+x^2+0x+1 por x-1 usando divisão de polinômios:
r|l x-1 & x^4+0x^3+x^2+0x+1hline & x^3 & x^4-x^3hline & ;x^3+x^2;+0x+1 & +x^2 & x^3-x^2hline & ;2x^2+0x;+1 & +2x & 2x^2-2xhline & ;2x+1; & +2 & 2x-2hline & ;3;
O quociente é x^3+x^2+2x+2 e o resto é 3. Logo,
x^4+x^2+1x-1 = x^3+x^2+2x+2 + 3x-1

Passo 3

Reescrevendo a integral:
integral x^4+x^2+1x-1,dx = integrall(x^3+x^2+2x+2r),dx + integral 3x-1,dx

Passo 4

Integramos cada parte:
  1. Para o polinômio
integrall(x^3+x^2+2x+2r),dx = x^44 + x^33 + x^2 + 2x
  1. Para o termo integral 3x-1,dx, usamos integral 1x-a,dx = lnlvert x-arvert, obtendo
integral 3x-1,dx = 3lnllvert x-1rrvert

Resposta

integral x^4+x^2+1x-1,dx = x^44 + x^33 + x^2 + 2x + 3lnllvert x-1rrvert + C

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