Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x^3a^2-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral x^3a^2-x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando e depois aplicar substituição.

Passo 2

Fazendo divisão de x^3 pelo denominador a^2-x^2, escrevemos
x^3a^2-x^2 = -,x ;+;a^2,xa^2-x^2
Isso porque
-,x;=;-x,(a^2-x^2)a^2-x^2 =-a^2x + x^3a^2-x^2,
e somando a^2xa^2-x^2 recuperamos x^3a^2-x^2.

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
integral x^3a^2-x^2,dx = integrall(-xr),dx +integral a^2xa^2-x^2,dx
A primeira é direta:
integral (-x),dx = -x^22

Passo 4

Para integral a^2xa^2-x^2,dx usamos a substituição
u = a^2-x^2 Longrightarrow du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -du2
Logo
integral a^2xa^2-x^2,dx = a^2integral x,dxu = a^2integral -12,duu = -a^22integral duu = -a^22lnl|ur| = -a^22lnl|a^2-x^2r|

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
integral x^3a^2-x^2,dx = -x^22 -a^22lnl|a^2-x^2r| + C

Resposta

boxed integral x^3a^2-x^2,dx = -x^22 -a^22lnl|a^2-x^2r| + C

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