Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x^2-5 x+6x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2-5x+6x^2+4,dx
Esse tipo de integral envolve dividir o numerador pelo denominador (ou decompor em termos mais simples) e usar integrais conhecidas de funções polinomiais, logarítmicas e arctangente.

Passo 2

Reescrevemos o numerador de modo a separar uma parte igual ao denominador. Observamos que
x^2-5x+6 = (x^2+4);+;(-5x+2)
Logo,
x^2-5x+6x^2+4 = x^2+4x^2+4 ;+;-5x+2x^2+4 = 1 ;+;-5x+2x^2+4

Passo 3

Assim
integral x^2-5x+6x^2+4,dx = integral 1,dx ;+;integral -5xx^2+4,dx ;+;integral 2x^2+4,dx

Passo 4

Para a primeira e segunda integral:
integral 1,dx = x + C1,
e para
integral -5xx^2+4,dx
fazemos a substituição u = x^2+4, du = 2x,dx, daí
integral -5xx^2+4,dx = -52integral duu = -52lnl|ur| + C2 = -52lnl(x^2+4r)

Passo 5

Para a terceira integral usamos a fórmula
integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar).
Aqui a^2=4, a=2, logo
integral 2x^2+4,dx = 2cdot12arctan!l(tfracx2r) = arctan!l(tfracx2r)

Passo 6

Somando todas as partes e reunindo as constantes em uma só C, obtemos
integral x^2-5x+6x^2+4,dx = x ;-;52lnl(x^2+4r) ;+;arctan!l(tfracx2r) ;+;C

Resposta

x ;-;52lnl(x^2+4r) ;+;arctan!l(tfracx2r) ;+;C

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