Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral 2 x-53 x^2-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
I = integral 2x - 53x^2 - 2,dx
O conteúdo aqui é decompor a integral em duas partes, usar substituição para a parte cujo numerador é proporcional à derivada do denominador e empregar a fórmula de integração de integral dxax^2-b, que envolve a função arctanh.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas parcelas:
I = integral 2x3x^2-2,dx ;-; 5 integral 13x^2-2,dx

Passo 3

Para
I1 = integral 2x3x^2-2,dx,
fazemos a substituição
u = 3x^2-2, du = 6x,dx ;Longrightarrow; x,dx = du6
Então
I1 = integral 2x,dxu = 2 integral x,dxu = 2 integral 1u,du6 = 13integral duu = 13lnl|ur| + C1 = 13lnl|3x^2-2r| + C1

Passo 4

Para
I2 = integral 13x^2-2,dx,
usamos a fórmula
integral dxa x^2-b = -1raizab;arctanh!l(xraiztfracabr)+C
Aqui a=3 e b=2, logo raizab=raiz6 e raiztfracab=raiztfrac32. Portanto
I2 = -1raiz6;arctanh!l(xraiztfrac32r) + C2

Passo 5

Voltando à integral original, lembrando do fator -5 em I2, temos
I = I1 ;-; 5,I2 = 13lnl|3x^2-2r| ;+;5raiz6;arctanh!l(xraiztfrac32r) + C,
onde C=C1+5C2 é a constante geral de integração.

Resposta

boxed integral 2x - 53x^2 - 2,dx = 13lnl|3x^2-2r| ;+;5raiz6;arctanh!l(xraiztfrac32r) + C

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