Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x(x+1)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos usar a técnica de substituição seguida de decomposição em potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1 Longrightarrow du = dx,
e como x = u - 1, a integral vira
integral x(x+1)^2,dx = integral u-1u^2,du

Passo 3

Agora separamos em dois termos e escrevemos em potências de u:
u-1u^2 = uu^2 - 1u^2 = u^-1 - u^-2
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integral u-1u^2,du = integral l(u^-1 - u^-2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo usando as fórmulas
integral u^-1,du = lnlvert urvert, integral u^-2,du = u^-1-1 = -u^-1
Portanto
integral l(u^-1 - u^-2r),du = lnlvert urvert - l(-u^-1r) = lnlvert urvert + u^-1 + C

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u = x+1), obtemos
lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

Resposta

integral x(x+1)^2,dx = lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

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