Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral a x+ba^2 x^2+b^2 d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a integral indefinida
integral a x + ba^2x^2 + b^2,dx,
usando que podemos decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte constante.

Passo 2

Defina
D = a^2x^2 + b^2
Então
dDdx = 2a^2x
Note que podemos escrever
a x = 12a,dDdx
Logo
a x + b = 12a,dDdx + b

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral a x + bD,dx = 12aintegral D'D,dx + bintegral 1D,dx

Passo 4

A primeira parte é imediata, pois
integral D'D,dx = lnl|Dr| + C1 = lnl(a^2x^2+b^2r) + C1
Logo
12aintegral D'D,dx = 12a,lnl(a^2x^2+b^2r)

Passo 5

Para a segunda parte, use a substituição u = a x, logo du = a,dx, de modo que
integral 1a^2x^2+b^2,dx = integral 1u^2+b^2;dua = 1a,1b,arctan!l(tfracubr) = 1ab,arctan!l(tfraca xbr)
Multiplicando por b, tem-se
bintegral 1D,dx = bab,arctan!l(tfraca xbr) = 1a,arctan!l(tfraca xbr)

Passo 6

Somando as duas partes e incluindo a constante geral C, obtemos
integral a x + ba^2x^2+b^2,dx = 12a,lnl(a^2x^2+b^2r) + 1a,arctan!l(tfraca xbr) + C

Resposta

boxed integral a x + ba^2x^2+b^2,dx = 12a,lnl(a^2x^2+b^2r) + 1a,arctan!l(tfraca xbr) + C

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