Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x cdot 7^x^2 dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x cdot 7^x^2 , dx,
que envolve uma função do tipo 7^x^2 multiplicada por x. Vamos usar substituição (mudança de variável) e a fórmula básica
integral a^u,du = a^uln a + C,
onde a>0, aneq1.

Passo 2

Fazemos a substituição natural para eliminar o x do expoente:
u = x^2 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Em função de u, a integral original fica
integral x cdot 7^x^2 , dx = integral 7^u ,l(x,dxr) = integral 7^u cdot 12,du = 12integral 7^u,du

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integral de a^u:
integral 7^u,du = 7^uln 7 + C
Logo,
12integral 7^u,du = 12cdot7^uln 7 + C = 7^u2,ln 7 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u=x^2. Assim a primitiva é
integral x cdot 7^x^2 , dx = 7^x^22,ln 7 + C

Resposta

boxedintegral x cdot 7^x^2 , dx = 7^x^22,ln 7 + C

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