Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x d xraiza^4-x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x,dxraiza^4-x^4,
que é um caso de integral que se simplifica com a substituição u=x^2. O conteúdo aqui é aplicar a técnica de substituição para transformar essa raiz de quarto grau em uma forma do tipo raizR^2-u^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Isso vai converter nossa integral em uma em que o integrando depende apenas de u.

Passo 3

Substituindo em integral x,dxraiza^4-x^4 obtemos
integral x,dxraiza^4-x^4 = integral du2raiza^4 - (x^2)^2 = 12 integral duraiza^4 - u^2
Repare que (x^2)^2=u^2, então o denominador fica raiza^4-u^2.

Passo 4

Agora reconhecemos a fórmula padrão
integral duraizR^2-u^2 = arcsin!l(tfracuRr) + C,
onde R=a^2. Assim
12 integral duraiza^4-u^2 = 12 arcsin!l(ua^2r) + C
Voltando à variável x, como u=x^2, ficamos com

Resposta

integral x,dxraiza^4-x^4 = 12 arcsin!l(x^2a^2r) + C

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