Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral arctan x / 24+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arctanl(tfracx2r)4+x^2,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, usando a relação entre x e tan.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para a função inversa tangente:
t = arctanl(tfracx2r),
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x = 2tan t e dx = 2sec^2t,dt
Além disso,
4 + x^2 = 4 + 4tan^2t = 4sec^2t

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral arctan(tfracx2)4+x^2,dx = integral t4sec^2t,l(2sec^2t,dtr) = integral 2t4,dt = integral t2,dt

Passo 4

Agora integramos integral t2,dt:
integral t2,dt = 12cdott^22 = t^24 + C
Voltando à variável x, temos t = arctanl(tfracx2r).

Resposta

integral arctanl(tfracx2r)4+x^2,dx = 14,arctan^2!l(tfracx2r) + C

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