Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral x-raizarctan 2 x1+4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral
integral x-raizarctan(2x)1+4x^2,dx
Vamos usar linearidade de integrais, a substituição em cada parte e a fórmula básica
integral xa x^2+1,dx.

Passo 2

Separamos o integrando em duas parcelas pela linearidade:
integral x1+4x^2,dx ;-;integral raizarctan(2x)1+4x^2,dx

Passo 3

Para
integral x1+4x^2,dx
fazemos u=1+4x^2, du=8x,dx. Logo,
integral x1+4x^2,dx = 18integral duu = 18ln|u|+C = 18ln(1+4x^2)+C

Passo 4

Para
integral raizarctan(2x)1+4x^2,dx
fazemos t=arctan(2x), de onde
dt=21+4x^2,dx, isto é,
dx1+4x^2=dt2. Então
integral raizarctan(2x)1+4x^2,dx = 12integral t^1/2,dt = 12cdot23t^3/2+C = (arctan(2x))^3/23+C

Passo 5

Subtraindo a segunda parte da primeira e reunindo as constantes em uma só C, obtemos
integral x-raizarctan(2x)1+4x^2,dx = 18ln(1+4x^2) - (arctan(2x))^3/23+C

Resposta

18ln(1+4x^2) - (arctan(2x))^3/23+C

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