Verifique se o limite existe:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0):
Conteúdo: limites em ℝ² e teste por caminhos para checar existência de limite. Vamos precisar do conceito de limite multivariável e da ideia de que, se existir, deve ser o mesmo por qualquer caminho de aproximação.
Conteúdo: limites em ℝ² e teste por caminhos para checar existência de limite. Vamos precisar do conceito de limite multivariável e da ideia de que, se existir, deve ser o mesmo por qualquer caminho de aproximação.
Passo 2
Primeiro, note que podemos simplificar a expressão original sempre que y≠0. Temos
Isso facilita a análise de como a função se comporta perto da origem.
Passo 3
Para testar a existência do limite, usamos o método dos caminhos. Vamos aproximar (0,0) pela reta y=kx, com k constante. Substituindo y=kx na expressão simplificada, obtemos
Quando x→0, usamos o fato de que
.
Passo 4
Fazendo a aproximação
em x→0, o limite ao longo de y=kx vira
Esse valor depende de k.
Passo 5
Como o resultado
varia com o parâmetro k (por exemplo, para k=0 dá 0, para k=1 dá 1/2), concluímos que não há um valor único para o limite quando (x,y)→(0,0).
Resposta
O limite não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação (por exemplo, dá 0 para y=0 e 1/2 para y=x).