Verifique se o limite existe:
lim (x, y) (0,0) x y sin (y)y(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0):
Conteúdo: limites em ℝ² e teste por caminhos para checar existência de limite. Vamos precisar do conceito de limite multivariável e da ideia de que, se existir, deve ser o mesmo por qualquer caminho de aproximação.

Passo 2

Primeiro, note que podemos simplificar a expressão original sempre que y≠0. Temos
x y sin(y)yl(x^2+y^2r) = xsin(y)x^2+y^2(yneq0)
Isso facilita a análise de como a função se comporta perto da origem.

Passo 3

Para testar a existência do limite, usamos o método dos caminhos. Vamos aproximar (0,0) pela reta y=kx, com k constante. Substituindo y=kx na expressão simplificada, obtemos
f(x,kx)=xsin(kx)x^2+(kx)^2=xsin(kx)x^2(1+k^2)=sin(kx)x(1+k^2)
Quando x→0, usamos o fato de que sin(kx)sim kx.

Passo 4

Fazendo a aproximação sin(kx)approx kx em x→0, o limite ao longo de y=kx vira
limxto0f(x,kx)=limxto0kxx(1+k^2)=k1+k^2
Esse valor depende de k.

Passo 5

Como o resultado k/(1+k^2) varia com o parâmetro k (por exemplo, para k=0 dá 0, para k=1 dá 1/2), concluímos que não há um valor único para o limite quando (x,y)→(0,0).

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação (por exemplo, dá 0 para y=0 e 1/2 para y=x).

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