Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral dxsinh x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
1sinh x
ou seja
integral dxsinh x
O conteúdo aqui é integração de funções hiperbólicas. Vamos usar a substituição u=e^x, que transforma exponenciais em racionais, e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^x,
temos
du = e^x,dx = u,dx Longrightarrow dx = duu
Além disso,
sinh x = e^x - e^-x2 = u - tfrac1u2 = u^2 - 12u
Logo a integral vira
integral dxsinh x = integral duutfracu^2-12u = integral 2,duu^2-1

Passo 3

Agora integramos
integral 2,duu^2-1
Usamos frações parciais:
2u^2-1 = 2(u-1)(u+1) = 1u-1 - 1u+1
Portanto
integral 2,duu^2-1 = integral l(1u-1 - 1u+1r)du = lnl|u-1r| - lnl|u+1r| + C

Passo 4

Voltando à variável x, u=e^x, temos
lnl|e^x-1r| - lnl|e^x+1r| + C = ln!l|e^x-1e^x+1r| + C
Reconhecemos que
e^x-1e^x+1 = tanh!l(tfracx2r)
Logo o resultado simplifica para
lnl|tanh(tfracx2)r| + C

Resposta

integral dxsinh x = lnl|tanh(tfracx2)r| + C

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