Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
y=\left(2 x^{3}+1\right)\left(x^{5}-x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = (2x^3 + 1)\,(x^5 - x)
e pede \frac{dy}{dx}. Como é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que afirma:
\frac{d}{dx}[u\cdot v] = u'\,v + u\,v'.

Passo 2

Definimos
u = 2x^3 + 1 \qquad\text{e}\qquad v = x^5 - x.
Calculamos as derivadas de cada uma:
u' = \frac{d}{dx}(2x^3+1) = 6x^2,
v' = \frac{d}{dx}(x^5 - x) = 5x^4 - 1.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dx} = u'\,v + u\,v' = 6x^2\,(x^5 - x) \;+\; (2x^3 + 1)\,(5x^4 - 1).
Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
Primeiro termo:
6x^2 \cdot x^5 = 6x^7, \quad 6x^2 \cdot (-x) = -6x^3.
Segundo termo:
2x^3\cdot 5x^4 = 10x^7, \quad 2x^3\cdot(-1) = -2x^3,
1\cdot 5x^4 = 5x^4, \quad 1\cdot(-1) = -1.
Somando os coeficientes semelhantes:
6x^7 + 10x^7 = 16x^7, \qquad -6x^3 - 2x^3 = -8x^3.
Assim obtemos
\frac{dy}{dx} = 16x^7 + 5x^4 - 8x^3 - 1.

Resposta

\frac{dy}{dx} = 16x^7 + 5x^4 - 8x^3 - 1.

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