Use a diferenciação implícita para encontrar y^{\prime} para a equação x 3 y 3+x \cdot \cos (y)=7.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^3y^3 + x\cos(y) = 7
e pede \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia sempre que aparecer y em função de x.

Passo 2

Derivamos termo a termo em relação a x. Para o primeiro termo x^3y^3 usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^3y^3\bigr) = \frac{d}{dx}[x^3]\cdot y^3 + x^3\cdot \frac{d}{dx}[y^3] = 3x^2y^3 + x^3\cdot 3y^2\,y'.

Passo 3

Para o segundo termo x\cos(y) também usamos produto e, na parte \cos(y), a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos(y)\bigr) = 1\cdot\cos(y) + x\cdot\bigl(-\sin(y)\,y'\bigr) = \cos(y) - x\sin(y)\,y'.

Passo 4

Somando as derivadas e igualando à derivada de 7 (que é zero), obtemos
3x^2y^3 + 3x^3y^2y' + \cos(y) - x\sin(y)\,y' = 0.

Passo 5

Agrupamos os termos que contêm y' e isolamos:
3x^3y^2\,y' - x\sin(y)\,y' + 3x^2y^3 + \cos(y) = 0 \;\Longrightarrow\; y'\bigl(3x^3y^2 - x\sin(y)\bigr) = -\bigl(3x^2y^3 + \cos(y)\bigr).
Dividindo pelo fator que multiplica y', resulta
y' = \frac{-3x^2y^3 - \cos(y)}{3x^3y^2 - x\sin(y)}.

Resposta

y' = \frac{-3x^2y^3 - \cos(y)}{3x^3y^2 - x\sin(y)}.

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