Use a diferenciação implícita para encontrar dy/dx para a equação y 5+x 2 y 3=2+x 2 y.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos diferenciação implícita na equação
y^{5} \;+\; x^{2}y^{3} \;=\; 2 \;+\; x^{2}y
e encontrarmos \dfrac{dy}{dx}. Vamos precisar da regra da cadeia para derivar potências de y (que dependem de x) e da regra do produto para termos como x^2y^3 e x^2y.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x, comece por
\frac{d}{dx}\bigl(y^{5}\bigr).
Como y=y(x), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{5}\bigr) =5\,y^{4}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora derive
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr).
Aqui usamos a regra do produto entre x^2 e y^3:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr) = \frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y^{3} \;+\; x^{2}\cdot \frac{d}{dx}(y^{3}).
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr) =2x\,y^{3} \;+\; x^{2}\cdot\bigl(3y^{2}\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) =2x\,y^{3} \;+\; 3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Do lado direito, derive
\frac{d}{dx}\bigl(2 + x^{2}y\bigr).
O constante 2 some e, de novo pela regra do produto em x^{2}y:
\frac{d}{dx}(x^{2}y) =2x\,y \;+\; x^{2}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Juntando tudo, a diferencial da equação original fica:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} \;+\; \bigl(2x\,y^{3} + 3x^{2}y^{2}\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = 2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx}.
Agrupando termos que envolvem \tfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
5y^{4}\,\frac{dy}{dx} +3x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx} - x^{2}\,\frac{dy}{dx} = 2x\,y -2x\,y^{3}.

Passo 6

Fatorando \tfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\bigl(5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}\bigr)\frac{dy}{dx} =2x\,(y - y^{3}).
Por fim, isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{2x\,(y - y^{3})}{5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{2x\,(y - y^{3})}{5y^{4} + 3x^{2}y^{2} - x^{2}}.

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