Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
y=\frac{\operatorname{sen} x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{\operatorname{sen} x}{x^{3}}.
O conteúdo é aplicação da regra do quociente, junto com a derivada de função trigonométrica e de potenciais:
\displaystyle \frac{d}{dx}[\operatorname{sen} x]=\cos x
\displaystyle \frac{d}{dx}[x^{n}]=n\,x^{n-1}
– Regra do quociente: se y=\tfrac{u}{v}, então
y'=\frac{v\,u' - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen} x, \quad v(x)=x^{3}.
Então
u'(x)=\cos x, \quad v'(x)=3x^{2}.
E pela regra do quociente
y'=\frac{v\,u' - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 3

Substituindo u, u', v e v' em y':
y'=\frac{x^{3}\cos x - (\operatorname{sen} x)\cdot 3x^{2}}{(x^{3})^{2}} =\frac{x^{3}\cos x - 3x^{2}\operatorname{sen} x}{x^{6}}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos x^{2} no numerador e reduzimos potências:
y' =\frac{x^{2}\bigl(x\cos x - 3\operatorname{sen} x\bigr)}{x^{6}} =\frac{x\cos x - 3\operatorname{sen} x}{x^{4}}.

Resposta

y'=\frac{x\cos x - 3\operatorname{sen} x}{x^{4}}.

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