Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(1+1x)^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(1+tfrac1xr)^x
Aqui a ideia é usar log-diferenciação, pois temos base e expoente dependentes de x. Vamos precisar também da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Defina
y = f(x)=l(1+tfrac1xr)^x
Tomando logaritmo natural dos dois lados, obtemos
ln y = x ,ln!l(1+tfrac1xr)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vale
ddx(ln y)=y'y
No lado direito usamos a regra do produto em xcdotln(1+1/x):
ddxl[x,ln(1+tfrac1x)r] = ln!l(1+tfrac1xr) + xcdotddxl[ln!l(1+tfrac1xr)r]
E
ddxl[ln!l(1+tfrac1xr)r] =11+tfrac1xcdotl(-tfrac1x^2r) =-1x(x+1)
Logo
ddxl[x,ln(1+tfrac1x)r] =ln!l(1+tfrac1xr) -1x+1

Passo 4

Igualando as derivadas de ambos os lados, temos
y'y =ln!l(1+tfrac1xr) -1x+1
Multiplicando por y=f(x), vem
y' =f(x),l[ln!l(1+tfrac1xr)-tfrac1x+1r]

Resposta

f'(x) =l(1+tfrac1xr)^x l[ln!l(1+tfrac1xr) -tfrac1x+1r]

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