Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^e^x
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de uma função na forma g(x)^h(x). Para resolver, vamos reescrever f como uma exponencial e depois usar regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Reescrevemos f(x) usando a exponencial natural:
f(x)=expl(e^xln xr)

Passo 3

Definimos o expoente
u(x)=e^xln x
e aplicamos a regra do produto para encontrar
u'(x)=ddxl(e^xr)ln x + e^xddxl(ln xr) =e^xln x + e^x,1x

Passo 4

Agora, pela regra da cadeia,
f'(x)=expl(u(x)r)cdot u'(x) =x^e^xl(e^xln x + e^xtfrac1xr) =x^e^x,e^xl(ln x + tfrac1xr)

Resposta

f'(x)=x^e^x,e^xl(ln x + 1xr)

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