Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=cos (arctan x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cosl(arctan xr)
Aqui vamos usar a regra da cadeia para funções compostas: se f(x)=cos(u) com u=arctan x, então precisamos da derivada de cos(u) e da derivada de arctan x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) =ddxl[cos(u)r]|u=arctan x ;cdot;ddxl[arctan xr]
Sabendo que ddu[cos(u)]=-,sin(u) e ddx[arctan x]=11+x^2, obtemos
f'(x) =-sinl(arctan xr),cdot11+x^2

Passo 3

Para simplificar sin(arctan x), considere theta=arctan x. Num triângulo retângulo com ângulo theta, a tangente é
tantheta=opostoadjacente =x1
Logo a hipotenusa é raiz1+x^2 e
sin(arctan x)=sintheta=xraiz1+x^2

Passo 4

Substituindo em f'(x), vem
f'(x) =-xraiz1+x^2;cdot;11+x^2 =-x(1+x^2),raiz1+x^2 =-x(1+x^2)^3/2

Resposta

f'(x)=-x(1+x^2)^3/2

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