Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^x. Como a base e o expoente dependem de x, a técnica mais eficiente é a diferenciação logarítmica, que usa propriedades de logaritmo para simplificar a derivação.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln f(x) = lnl(x^xr) = x,ln x
Aqui usamos a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. De um lado, pela regra da cadeia,
ddxl[ln f(x)r] = f'(x)f(x)
Do outro lado, usamos a regra do produto em xln x:
ddx[xln x] = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1
Igualando as duas expressões,
f'(x)f(x) = ln x + 1 Longrightarrow f'(x) = f(x),(ln x + 1)

Resposta

f'(x) = x^x,(ln x + 1)

Exercícios relacionados