Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=ln (1+x^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(1+x^xr)
Para resolver usamos duas coisas: a regra da cadeia (para função logarítmica) e a derivada de x^x (potência com base e expoente variáveis).

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x)=lnl(u(x)r) então
f'(x)=u'(x)u(x)
Aqui u(x)=1+x^x, logo
f'(x)=l(1+x^xr)'1+x^x

Passo 3

Falta achar l(x^xr)'. Escrevemos
x^x=e^xln x
Derivando,
ddxl(e^xln xr) =e^xln xcdotddxl(xln xr) =x^xl(ln x+1r),
pois ddx(xln x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =x^x(ln x+1)1+x^x

Resposta

f'(x)=x^x(ln x+1)1+x^x

Exercícios relacionados