Usando as regras de derivação, onde estiver definida, encontre as derivadas das seguintes funções de variável complexa:

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de variável complexa
f(s)=(1+s^2)^44s^2
O conteúdo envolvido é derivação de quociente e aplicação da regra da cadeia e de potências.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares para usar a regra do quociente:
g(s)=(1+s^2)^4, h(s)=4s^2
Calculamos as derivadas usando a regra da cadeia e de potências:
Para g(s),
$$g’(s)=4(1+s{2}){3}\cdot\frac{d}{ds}(1+s{2})=4(1+s{2}){3}\cdot2s=8s(1+s{2})^{3}.
g'(s)=4(1+s^2)^3cdotdds(1+s^2)=4(1+s^2)^3cdot2s=8s(1+s^2)^3 h’(s)=4\cdot2s=8s.$$

Passo 3

Aplicamos então a regra do quociente:
f'(s)=g'(s)h(s)-g(s)h'(s)[h(s)]^2
Substituindo os valores encontrados:
f'(s)=8s(1+s^2)^3cdot4s^2 - (1+s^2)^4cdot8s(4s^2)^2

Passo 4

Agora simplificamos passo a passo:
  1. Multiplicamos e colocamos num denominador comum:
f'(s)=32s^3(1+s^2)^3 - 8s(1+s^2)^416s^4
  1. Fatoramos 8s(1+s^2)^3 no numerador:
f'(s)=8s(1+s^2)^3l(4s^2-(1+s^2)r)16s^4
  1. Simplificamos 8/16=1/2 e cancelamos potências de s:
f'(s)=(1+s^2)^3l(4s^2-1-s^2r)2s^3
  1. Reduzimos dentro do parêntese:
4s^2-1-s^2=3s^2-1

Passo 5

Combinando tudo chegamos ao resultado final abaixo.

Resposta

f'(s)=(1+s^2)^3,(3s^2-1)2s^3

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