Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações do enunciado e comportamento das partes quando
:
-
. -
.
Portanto o produtotem a forma indeterminada . A resolução vai transformar essa expressão em uma razão adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Transformação da indeterminação em uma razão: escrevo o produto como uma divisão
Analisando os limites das duas partes quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
porque .
Temos, então, uma indeterminação do tipo, que é admissível para aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve explicação da Regra de L’Hospital (versão usada): se para
próximo de
as funções
e
são diferenciáveis (exceto possivelmente em
), e
,
(ou ambos tendem a
), e se o limite
existe finito (ou é
), então
Aqui
e
satisfazem as hipóteses para
(são diferenciáveis em
, etc.), então podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Calcular as derivadas envolvidas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador: escrevo
. Usando a regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Segundo L’Hospital,
Simplifico a fração:
Logo o limite procurado é
Passo 5
Usar identidades trigonométricas para simplificar
. A identidade útil é
Substituindo,
Assim
Passo 6
Agora reescrevo
de forma que apareça o quociente padrão
. Observe que
Substituindo na expressão anterior,
Calculo o fator racionalizado:
Portanto
Passo 7
Usar limites conhecidos: sabemos que
e também
. Tomando
e passando ao limite
na expressão do Passo 6, obtemos
Portanto
Passo 8
Concluir pelo resultado da aplicação da Regra de L’Hospital: como o limite da razão das derivadas existe e vale
, segue que o limite original também vale
. Além disso, a interpretação intuitiva:
é da ordem de
quando
é pequeno, e
vence o crescimento em módulo de
, fazendo o produto tender a zero.