Usando a relação entre a integral e a área, de um argumento geométrico para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos a integral
. O enunciado quer que a gente use a relação entre a integral e a área para calcular isso. Basicamente, vamos encontrar a área sob o gráfico da função
entre
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como elas representam áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a função
. O gráfico dessa função é uma “V” invertida. O termo
significa o valor absoluto de
, então ele vai sempre dar um número positivo ou zero. Subtraindo isso de 4, a função atinge seu ponto mais alto em
com
, e desce linearmente para os lados.
Passo 3
Vamos identificar os pontos importantes dessa função no intervalo de
a
:
- Em
: - Em
: - Em
:
Então, temos três pontos:
,
e
, que formam a forma de “V” invertida.
Passo 4
Agora, para calcular a integral
, vamos interpretar isso como a área sob o gráfico da função entre
e
. Como a função é simétrica em relação ao eixo
, podemos calcular a área de um dos lados e multiplicar por 2.
Passo 5
Vamos dividir a área em duas partes iguais:
- De
a - De
a
Como o gráfico é simétrico, a área de cada parte será a mesma. Vamos calcular uma delas e dobrar o resultado.
Passo 6
Vamos calcular a área de
a
. Nesse intervalo, a função é uma linha reta que desce de
para
.
Essa área forma um trapézio, mas como é um triângulo (porque a base superior é zero), podemos usar a fórmula da área do triângulo:
Aqui:
- Base = distância de
a = 2 - Altura = variação de
de 4 para 2 = 2
Passo 7
Como a função é simétrica, a área de
a
também é 2. Então, a área total é:
Resposta
A integral
é igual a 4.