Usando a relação entre a integral e a área, de um argumento geométrico para calcular as seguintes integrais:
integral-2^2(4-|x|) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos a integral integral-2^2 (4 - |x|) , dx. O enunciado quer que a gente use a relação entre a integral e a área para calcular isso. Basicamente, vamos encontrar a área sob o gráfico da função y = 4 - |x| entre x = -2 e x = 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como elas representam áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a função y = 4 - |x|. O gráfico dessa função é uma “V” invertida. O termo |x| significa o valor absoluto de x, então ele vai sempre dar um número positivo ou zero. Subtraindo isso de 4, a função atinge seu ponto mais alto em x = 0 com y = 4, e desce linearmente para os lados.

Passo 3

Vamos identificar os pontos importantes dessa função no intervalo de -2 a 2:
  • Em x = -2: y = 4 - |-2| = 4 - 2 = 2
  • Em x = 0: y = 4 - |0| = 4
  • Em x = 2: y = 4 - |2| = 4 - 2 = 2
Então, temos três pontos: (-2, 2), (0, 4) e (2, 2), que formam a forma de “V” invertida.

Passo 4

Agora, para calcular a integral integral-2^2 (4 - |x|) , dx, vamos interpretar isso como a área sob o gráfico da função entre x = -2 e x = 2. Como a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular a área de um dos lados e multiplicar por 2.

Passo 5

Vamos dividir a área em duas partes iguais:
  1. De x = -2 a x = 0
  2. De x = 0 a x = 2
Como o gráfico é simétrico, a área de cada parte será a mesma. Vamos calcular uma delas e dobrar o resultado.

Passo 6

Vamos calcular a área de x = 0 a x = 2. Nesse intervalo, a função é uma linha reta que desce de y = 4 para y = 2.
Essa área forma um trapézio, mas como é um triângulo (porque a base superior é zero), podemos usar a fórmula da área do triângulo:
Área = base times a<ura2 Á
Aqui:
  • Base = distância de x = 0 a x = 2 = 2
  • Altura = variação de y de 4 para 2 = 2
Área = 2 times 22 = 2 Á

Passo 7

Como a função é simétrica, a área de x = -2 a x = 0 também é 2. Então, a área total é:
2 (esquerda) + 2 (direita) = 4

Resposta

A integral integral-2^2 (4 - |x|) , dx é igual a 4.

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