Usando a relação entre a integral e a área, de um argumento geométrico para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos a integral . O enunciado quer que a gente use a relação entre a integral e a área para calcular isso. Basicamente, vamos encontrar a área sob o gráfico da função entre e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como elas representam áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a função . O gráfico dessa função é uma “V” invertida. O termo significa o valor absoluto de , então ele vai sempre dar um número positivo ou zero. Subtraindo isso de 4, a função atinge seu ponto mais alto em com , e desce linearmente para os lados.

Passo 3

Vamos identificar os pontos importantes dessa função no intervalo de a :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Então, temos três pontos: , e , que formam a forma de “V” invertida.

Passo 4

Agora, para calcular a integral , vamos interpretar isso como a área sob o gráfico da função entre e . Como a função é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área de um dos lados e multiplicar por 2.

Passo 5

Vamos dividir a área em duas partes iguais:
  1. De a
  2. De a
Como o gráfico é simétrico, a área de cada parte será a mesma. Vamos calcular uma delas e dobrar o resultado.

Passo 6

Vamos calcular a área de a . Nesse intervalo, a função é uma linha reta que desce de para .
Essa área forma um trapézio, mas como é um triângulo (porque a base superior é zero), podemos usar a fórmula da área do triângulo:
Á
Aqui:
  • Base = distância de a = 2
  • Altura = variação de de 4 para 2 = 2
Á

Passo 7

Como a função é simétrica, a área de a também é 2. Então, a área total é:

Resposta

A integral é igual a 4.

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