Usando a relação entre a integral e a área, de um argumento geométrico para calcular as seguintes integrais:
integral1^5(2+raiz4-(x-3)^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de 2 + raiz4 - (x-3)^2 de x = 1 a x = 5 . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a relação entre a integral e a área sob uma curva. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de figuras geométricas simples e aplicar isso à integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^5 (2 + raiz4 - (x-3)^2) dx = integral1^5 2 , dx + integral1^5 raiz4 - (x-3)^2 , dx
Aqui, dividimos a função em duas partes: o número constante 2 e a raiz quadrada que parece uma parte de um círculo.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral1^5 2 , dx
Integrar uma constante é simples: multiplicamos a constante pelo intervalo de integração. Então:
2 times (5 - 1) = 2 times 4 = 8
Portanto, a primeira parte da integral é igual a 8.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
integral1^5 raiz4 - (x-3)^2 , dx
Essa expressão dentro da raiz se parece com a equação de um círculo. Na verdade, raiz4 - (x-3)^2 representa a metade superior de um círculo com raio 2 e centro em x = 3 .

Passo 5

Para encontrar a área dessa meia-circunferência, usamos a fórmula da área de um círculo completo:
Área do círculo = pi r^2 Áí
Como queremos apenas a metade superior, dividimos por 2:
Área da meia-circunferência = 12 pi r^2 Áê
Substituindo r = 2 :
12 pi (2)^2 = 12 pi times 4 = 2pi
Então, a segunda parte da integral é igual a 2pi .

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
8 + 2pi
Portanto, o valor da integral é 8 + 2pi .

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