Usando a relação entre a integral e a área, de um argumento geométrico para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
a
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a relação entre a integral e a área sob uma curva. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de figuras geométricas simples e aplicar isso à integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Aqui, dividimos a função em duas partes: o número constante 2 e a raiz quadrada que parece uma parte de um círculo.
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
Integrar uma constante é simples: multiplicamos a constante pelo intervalo de integração. Então:
Portanto, a primeira parte da integral é igual a 8.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
Essa expressão dentro da raiz se parece com a equação de um círculo. Na verdade,
representa a metade superior de um círculo com raio 2 e centro em
.
Passo 5
Para encontrar a área dessa meia-circunferência, usamos a fórmula da área de um círculo completo:
Como queremos apenas a metade superior, dividimos por 2:
Substituindo
:
Então, a segunda parte da integral é igual a
.
Resposta
Somando as duas partes que calculamos:
Portanto, o valor da integral é
.