Usando o resultado (24) mostre que cada uma das integrais a seguir divergem.
integral0^infty 1raiz2+sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral0^infty 1raiz2+sin x,dx
é divergente. O conteúdo aqui é teste de comparação para integrar funções não negativas no infinito.

Passo 2

Observamos que para todo x vale sin x<=1. Então
2+sin x<=3
e, consequentemente,
raiz2+sin x<=raiz3
Logo
1raiz2+sin x>=1raiz3

Passo 3

Pelo resultado (24), que é o teste de comparação para integrais impróprias, se f(x)>= g(x)>=0 e integral0^inftyg(x),dx=infty, então
integral0^inftyf(x),dx=infty
Aqui podemos tomar g(x)=1/raiz3. Sabemos que
integral0^infty1raiz3,dx=1raiz3integral0^infty1,dx=infty
Como
1raiz2+sin x>=1raiz3=g(x)
concluímos que a integral dada diverge.

Resposta

A integral diverge.

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