O enunciado pede para verificar que resolve a EDO de segunda ordem
e, a partir dessa solução, obter uma segunda solução de forma que o conjunto seja linearmente independente. O conteúdo envolvido é EDOs lineares de 2ª ordem e o método de redução de ordem.
Passo 2
Vamos verificar que satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
Substituindo em :
Logo, é solução.
Passo 3
Colocamos a EDO em forma padrão dividindo por :
Para encontrar a segunda solução usamos a fórmula de redução de ordem:
y2=y1(x)integrale^-integral P(x)dx[y1(x)]^2,dx
Passo 4
Calculamos os termos na integral:
integral P(x)dx=integraltfrac1x dx=ln|x|Rightarrow e^-integral Pdx=x^-1,
[y1(x)]^2=(x^-1/2)^2=x^-1,
logo o integrando é
x^-1x^-1=1
Assim,
integral1,dx=x+C
e portanto
y2=y1cdot x=x^-1/2cdot x=x^1/2
Passo 5
Para confirmar independência linear, podemos calcular o Wronskiano