Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que y1(x)=x^-1/2 resolve a EDO de segunda ordem
x^2y''+xy'+l(x^2-tfrac14r)y=0
e, a partir dessa solução, obter uma segunda solução y2(x) de forma que o conjunto y1,y2 seja linearmente independente. O conteúdo envolvido é EDOs lineares de 2ª ordem e o método de redução de ordem.

Passo 2

Vamos verificar que y1 satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1(x)=x^-1/2, y1'(x)=-tfrac12x^-3/2, y1''(x)=tfrac34x^-5/2
Substituindo em x^2y''+xy'+(x^2-tfrac14)y=0:
x^2l(tfrac34x^-5/2r)+xl(-tfrac12x^-3/2r)+(x^2-tfrac14)x^-1/2 =tfrac34x^-1/2-tfrac12x^-1/2+x^3/2-tfrac14x^-1/2 =0
Logo, y1 é solução.

Passo 3

Colocamos a EDO em forma padrão dividindo por x^2:
y''+underbracetfrac1xP(x)y'+underbracel(1-tfrac14x^2r)Q(x)y=0
Para encontrar a segunda solução usamos a fórmula de redução de ordem:
y2=y1(x)integrale^-integral P(x)dx[y1(x)]^2,dx

Passo 4

Calculamos os termos na integral:
integral P(x)dx=integraltfrac1x dx=ln|x|Rightarrow e^-integral Pdx=x^-1,
[y1(x)]^2=(x^-1/2)^2=x^-1,
logo o integrando é
x^-1x^-1=1
Assim,
integral1,dx=x+C
e portanto
y2=y1cdot x=x^-1/2cdot x=x^1/2

Passo 5

Para confirmar independência linear, podemos calcular o Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2 =x^-1/2cdottfrac12x^-1/2-l(-tfrac12x^-3/2r)cdot x^1/2 =x^-1neq0
para xneq0. Isso prova que y1,y2 é linearmente independente.

Resposta

Uma segunda solução linearmente independente é y2(x)=x^1/2, formando o conjunto fundamental x^-1/2,,x^1/2.

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