Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto x y^prime prime+3 y^prime=0, y1=1 seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes variáveis
x,y''+3,y'=0
e pede para verificar que y1(x)=1 é solução e, a partir dela, encontrar outra solução y2(x) linearmente independente.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão dividindo por x (supondo xneq0):
y''+3xy'=0
Em seguida, fazemos a troca de variável v=y', o que reduz a ordem da EDO.

Passo 3

Substituindo v=y' na equação padrão, obtemos uma EDO de 1ª ordem em v:
v'+3xv=0
Esta é linear, com fator integrante mu(x)=e^integral3/x,dx=x^3.

Passo 4

Multiplicando pela fator integrante e integrando:
(x^3v)'=0implies x^3v=Cimplies v=y'=C,x^-3
Integramos y'=x^-3:
y=integral x^-3,dx=-tfrac12x^-2+K.

Passo 5

Para obter uma segunda solução independente, basta escolher a parte não-constante (descartando constantes e fatores multiplicativos):
y2(x)=x^-2, que juntamente com y1(x)=1 forma um conjunto linearmente independente.

Resposta

y2(x)=x^-2

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