Usando o resultado (24) mostre que cada uma das integrais a seguir divergem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
diverge, usando o resultado (24). O conteúdo envolvido é o teste de comparação para integrais impróprias e o comportamento assintótico de funções do tipo
.
Passo 2
Para
, temos
Como a raiz quadrada preserva desigualdades em números não-negativos, isso implica
Multiplicando ambos os lados por
(positivo para
), obtemos
Passo 3
Pelo teste de comparação direta, para
a função
é maior ou igual à função
.
Como pelo resultado (24) sabemos que
é maior ou igual à função
Como pelo resultado (24) sabemos que
segue que
diverge por comparação.
Passo 4
Para deixar explícito, a primitiva de
é
e
.
Isso confirma a divergência da integral de referência.
Isso confirma a divergência da integral de referência.
Resposta
A integral diverge.