Usando o resultado (24) mostre que cada uma das integrais a seguir divergem.
integral2^infty ln xraizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral2^infty ln xraizx^2-1 , dx
diverge, usando o resultado (24). O conteúdo envolvido é o teste de comparação para integrais impróprias e o comportamento assintótico de funções do tipo ln x / x.

Passo 2

Para x >= 2, temos
x^2 - 1 <= x^2 Longrightarrow raizx^2 - 1 <= x
Como a raiz quadrada preserva desigualdades em números não-negativos, isso implica
1raizx^2 - 1 >= 1x
Multiplicando ambos os lados por ln x (positivo para x>1), obtemos
ln xraizx^2 - 1 >= ln xx

Passo 3

Pelo teste de comparação direta, para x>=2 a função
integral2^infty ln xx , dx = +infty,
é maior ou igual à função
integral2^infty ln xraizx^2-1 , dx .
Como pelo resultado (24) sabemos que
segue que
diverge por comparação.

Passo 4

Para deixar explícito, a primitiva de
integral ln xx , dx
é
12(ln x)^2
e
.
Isso confirma a divergência da integral de referência.

Resposta

A integral diverge.

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