Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é solução da equação diferencial de 2ª ordem
e, a partir dessa solução conhecida, encontrar outra solução
tal que o conjunto
seja linearmente independente. Vamos usar o método de redução de ordem em equações lineares homogêneas.
Passo 2
Para aplicar a redução de ordem, supomos
onde
é uma função a determinar. Calculamos as derivadas de
:
Passo 3
Substituímos
na equação original e dividimos por
, obtendo após simplificar os termos em
:
Isso elimina
e deixa uma equação de 2ª ordem para
que, por ser singular em
, pode ser reduzida.
Passo 4
Definimos
. Então a equação fica
Essa é uma equação de 1ª ordem separável. Escrevemos
Integrando,
Passo 5
Integramos
para obter
:
Podemos escolher as constantes para simplificar e desprezar a combinação linear com
. Tomando
e
, temos
. Portanto uma segunda solução independente é
Resposta
y_2(x)=x2ex