Verifique que 
  é solução da equação dada e determine, a partir de 
 , outra solução 
  da equação, de forma que o conjunto 
  seja linearmente independente.
 
Passo 1
O enunciado pede para verificar que 
  é solução da equação diferencial de 2ª ordem
e, a partir dessa solução conhecida, encontrar outra solução 
  tal que o conjunto 
  seja linearmente independente. Vamos usar o método de redução de ordem em equações lineares homogêneas.
Passo 2
Para aplicar a redução de ordem, supomos
onde 
  é uma função a determinar. Calculamos as derivadas de 
 :
Passo 3
Substituímos 
  na equação original e dividimos por 
 , obtendo após simplificar os termos em 
 :
Isso elimina 
  e deixa uma equação de 2ª ordem para 
  que, por ser singular em 
 , pode ser reduzida.
Passo 4
Definimos 
 . Então a equação fica
Essa é uma equação de 1ª ordem separável. Escrevemos
Integrando,
Passo 5
Integramos 
  para obter 
 :
Podemos escolher as constantes para simplificar e desprezar a combinação linear com 
 . Tomando 
  e 
 , temos 
 . Portanto uma segunda solução independente é
Resposta
y_2(x)=x2ex