Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto x y^prime prime-(2 x+1) y^prime+(x+1) y=0, y1=e^x seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que y1(x)=e^x é solução da equação diferencial de 2ª ordem
x,y''-(2x+1),y'+(x+1),y=0
e, a partir dessa solução conhecida, encontrar outra solução y2(x) tal que o conjunto y1,y2 seja linearmente independente. Vamos usar o método de redução de ordem em equações lineares homogêneas.

Passo 2

Para aplicar a redução de ordem, supomos
y2(x)=v(x),y1(x)=v(x)e^x
onde v(x) é uma função a determinar. Calculamos as derivadas de y2:
y2'=v'e^x+ve^x, y2''=v''e^x+2v'e^x+ve^x

Passo 3

Substituímos y2, y2', y2'' na equação original e dividimos por e^x, obtendo após simplificar os termos em v:
xv''-v'=0
Isso elimina v e deixa uma equação de 2ª ordem para v que, por ser singular em v, pode ser reduzida.

Passo 4

Definimos u=v'. Então a equação fica
xu'-u=0
Essa é uma equação de 1ª ordem separável. Escrevemos
u'u=1x
Integrando,
ln|u|=ln|x|+C1Rightarrow u=v'=C2,x

Passo 5

Integramos u=v'=C2x para obter v(x):
v(x)=integral C2x,dx=C2x^22+C3
Podemos escolher as constantes para simplificar e desprezar a combinação linear com y1. Tomando C2=2 e C3=0, temos v(x)=x^2. Portanto uma segunda solução independente é
y2(x)=x^2e^x

Resposta

y_2(x)=x2ex

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