Use a série de Maclaurin para e e expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. [Sugestão: z=z-z0+z0.]
f(z)=(z-1) e^-3 z, z0=1

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=(z-1)e^-3z em série de Taylor centrada em z0=1. O conteúdo principal é usar a série de Maclaurin de e^x=sumn=0^inftytfracx^nn!, além de reescrever z como z-1+1.

Passo 2

Definimos a nova variável w=z-1. Assim, z=w+1 e a distância até o ponto de expansão z0=1 fica simplesmente w.

Passo 3

Substituindo na função, temos
f(z)=w,e^-3(w+1)=w,e^-3,e^-3w

Passo 4

Agora aplicamos a série de Maclaurin em e^-3w:
e^-3w=sumn=0^infty(-3w)^nn!

Passo 5

Multiplicando por w,e^-3, obtemos
f(z)=e^-3,wsumn=0^infty(-3)^nw^nn! =e^-3sumn=0^infty(-3)^nw^n+1n!

Passo 6

Por fim, reindexamos para ter potências de (z-1)=w. Sejam k=n+1, então
f(z)=sumk=1^inftye^-3(-3)^k-1(k-1)!,(z-1)^k,
mostrando a série de Taylor centrada em z0=1.

Resposta

f(z)=sumn=1^inftye^-3(-3)^n-1(n-1)!,(z-1)^n

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