Usando a segunda regra composta de \operatorname{Simpson}(h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+2 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I=\int_{1}^{7}\bigl(x^{2}+2x+5\bigr)\,dx
usando a segunda regra composta de Simpson com passo h=1. O conteúdo é o método de Newton–Cotes de grau 3 (regra de Simpson 1/3 composta), que para n subintervalos pares e passo h
I_S = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + 4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1} f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2} f(x_i) +f(x_n)\Bigr].

Passo 2

Particionamos [1,7] com h=1, logo n=(7-1)/1=6. Os nós são
x_i = 1+i,\quad i=0,1,\dots,6,
e
f(x)=x^2+2x+5.
Calculando:
\begin{aligned} f(1)&=1+2+5=8,\\\ f(2)&=4+4+5=13,\\\ f(3)&=9+6+5=20,\\\ f(4)&=16+8+5=29,\\\ f(5)&=25+10+5=40,\\\ f(6)&=36+12+5=53,\\\ f(7)&=49+14+5=68. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando a fórmula de Simpson composta:
I_S = \frac{1}{3}\bigl[f(1)+4\bigl(f(2)+f(4)+f(6)\bigr) +2\bigl(f(3)+f(5)\bigr)+f(7)\bigr].
Substituindo os valores:
I_S = \frac{1}{3}\bigl[8 +4(13+29+53)+2(20+40)+68\bigr] =\frac{1}{3}\bigl[8 +4\cdot95 +2\cdot60 +68\bigr] =\frac{1}{3}\cdot576 =192.

Passo 4

Para achar o valor exato, usamos a antiderivada
F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+5x,
logo
I = F(7)-F(1) =\Bigl(\frac{343}{3}+49+35\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}+1+5\Bigr) =\frac{595}{3}-\frac{19}{3} =\frac{576}{3} =192.

Passo 5

O erro da aproximação é
E = I - I_S = 192 - 192 = 0.

Resposta

A aproximação de Simpson composta é 192, o valor exato da integral é 192 e o erro é 0.

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