Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites
lim x 0 -2+x+2(1+x)^-1 / 2x^2

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0-2 + x + 2(1+x)^-1/2x^2
Usaremos a série de Maclaurin de (1+x)^-1/2, já que as outras funções listadas não aparecem no numerador.

Passo 2

A série de Maclaurin de (1+x)^-1/2 em torno de x=0 é
(1+x)^-1/2 = 1 - tfrac12 x + tfrac38 x^2 + O(x^3)

Passo 3

Multiplicando essa expansão por 2 (conforme está no enunciado), obtemos
2(1+x)^-1/2 = 2l(1 - tfrac12 x + tfrac38 x^2 + O(x^3)r) = 2 - x + tfrac34 x^2 + O(x^3)

Passo 4

Substituindo no numerador
-2 + x + 2(1+x)^-1/2 = -2 + x + l(2 - x + tfrac34 x^2 + O(x^3)r) = tfrac34 x^2 + O(x^3)

Passo 5

Logo,
-2 + x + 2(1+x)^-1/2x^2 = tfrac34 x^2 + O(x^3)x^2 = tfrac34 + O(x),
e, ao fazermos xto0,

Resposta

limxto0-2 + x + 2(1+x)^-1/2x^2 = tfrac34

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