Usando a Série de Taylor/Maclaurin encontre:
o valor de \cos 2^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de \cos2^\circ usando a Série de Maclaurin. O conteúdo aqui é a expansão em torno de x=0 da função \cos x. Para usá-la precisamos também converter o ângulo de graus para radianos.

Passo 2

Converter 2^\circ para radianos:
x = 2^\circ = 2\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90}.

Passo 3

A Série de Maclaurin de \cos x é
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots.

Passo 4

Para obter precisão em torno de 10^{-7}, basta manter os termos até x^4. Chamando
T_0 = 1,\quad T_1 = -\frac{x^2}{2!},\quad T_2 = \frac{x^4}{4!},
com x=\frac{\pi}{90}.

Passo 5

Cálculo numérico dos quadrados:
\Bigl(\frac{\pi}{90}\Bigr)^2 \approx 0,00121847, \quad \Bigl(\frac{\pi}{90}\Bigr)^4 \approx 1,485\times10^{-6}.
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T_1 = -\frac12\Bigl(\frac{\pi}{90}\Bigr)^2 \approx -0,000609234, \quad T_2 = \frac{1}{24}\Bigl(\frac{\pi}{90}\Bigr)^4 \approx 6,1875\times10^{-8}.
Somando os termos
\cos2^\circ \approx T_0 + T_1 + T_2 = 1 - 0,000609234 + 6,1875\times10^{-8} = 0,999390828.

Resposta

\cos2^\circ \approx 0,9993908.

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