Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
F(x)=integral0^x ln (1+t)t d t, |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para calcular F(x)=integral0^x ln(1+t)t,dt usando séries de potência, para |x|<1. Vamos precisar da expansão em série de Maclaurin de ln(1+t) e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Maclaurin de ln(1+t) (válida para |t|<1) é
ln(1+t)=sumn=1^infty(-1)^n-1t^nn
Isso vem de expandir ln(1+u) em torno de u=0.

Passo 3

Dividindo a série por t obtemos
ln(1+t)t=sumn=1^infty(-1)^n-1t^n-1n
Aqui usamos que se uma série converge uniformemente em [0,x], podemos dividir e integrar termo a termo.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 até x:
F(x)=integral0^xln(1+t)t,dt =sumn=1^infty(-1)^n-11nintegral0^xt^n-1,dt =sumn=1^infty(-1)^n-11ncdotx^nn =sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn^2

Passo 5

Portanto, a série resultante exprime F(x) como uma soma de potências de x com coeficientes 1/n^2 alternados. Esse procedimento é válido para |x|<1 devido ao raio de convergência da série original de ln(1+t).

Resposta

F(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn^2, |x|<1

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