Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando séries de potência, para
. Vamos precisar da expansão em série de Maclaurin de
e integrar termo a termo.
Passo 2
A série de Maclaurin de
(válida para
) é
Isso vem de expandir
em torno de
.
Passo 3
Dividindo a série por
obtemos
Aqui usamos que se uma série converge uniformemente em
, podemos dividir e integrar termo a termo.
Passo 4
Integramos termo a termo de 0 até
:
Passo 5
Portanto, a série resultante exprime
como uma soma de potências de
com coeficientes
alternados. Esse procedimento é válido para
devido ao raio de convergência da série original de
.